Profesora Ana María Luzón
Universidad Politécnica de Madrid, España
En la India, en China (1303), en Arabia, en Europa, desde la antigüedad hasta nuestros días, el triángulo que forman los números combinatorios ha sido estudiado. En Europa Tartaglia (1556) lo publico primero pero fue en 1665 cuando Blaise Pascal realiza un estudio más completo del triángulo y sus propiedades. Nosotros lo vamos a obtener por columnas utilizando el teorema del punto fijo de Banach y alguna de sus generalizaciones. Esto nos permitirá dar una interpretación por columnas del triángulo de Pascal en términos de las series hipergeométricas. También veremos la interpretación clásica por filas del triángulo. Veremos los polinomios asociados a las filas
y su recurrencia. Veremos el teorema general del binomio de Newton.
Volviendo a nuestra construcción veremos cuál es el triángulo complementario al triángulo de Pascal y su relación con su inverso. Veremos las construcciones horizontales y verticales del triángulo y como consecuencia la cantidad de identidades que pueden obtenerse y de aquí el subtítulo de la charla de una máquina de calcular. Obtendremos la identidad de Vandermonde como una consecuencia inmediata de este razonamiento. Presentaremos el top ten de las identidades binomiales según el libro de Graham, Knuth y Patashnik ’Concrete Mathematics’, un libro dedicado a Leonard Euler, fundamental para todo nuestro tratamiento de este tema desde el punto de vista de series formales de potencias.
Identificaremos los números de Catalan, los números de Fibonacci, los números figurativos. Daremos interpretaciones combinatorias de algunos de estos temas. Por ejemplo, veremos como podemos utilizar el triángulo de Pascal para contar el número de vértices, aristas, caras que hay en los simplices. De hecho, esto nos va a permitir relacionar el triángulo de Pascal con algunos temas de investigación actuales.
