Matrices de Riordan asociadas a la Combinatoria y a la Topología de “Joins” iterados de complejos simpliciales. (En el Marco del Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, 19 de Junio )

Manuel A. Morón

Catedrático Departamento de Geometría y Topología 

Universidad Complutense de Madrid

Una de las herramientas principales para el estudio de la combinatoria de los complejos simpliciales es el f-vector (equivalentemente el f-polinomio) del complejo que contiene toda la información sobre el número y la dimensión de las caras de dicho complejo.

En esta conferencia queremos poner de manifiesto que ciertas construcciones iterativas en geometría y topología pueden ser codificadas por medio de matrices de Riordan muy simples, de hecho, de construcción muy similar a la del triángulo de Pascal. Demostraremos además que el patrón general de las matrices de Riordan aparece, no sólo en el problema de contar caras, sino también en el cómputo de los números de Betti reducidos de dicho complejo.

Mostraremos también una propiedad combinatoria que depende exclusivamente del complejo 0-dimensional en el que empezamos a iterar y cuya invariancia en el marco apropiado se prueba completamente aplicando propiedades simples de las matrices de Riordan.

A lo largo de la charla también se pondrá de manifiesto como el “patrón Riordan” está presente en algunos otros aspectos del estudio combinatorio y topológico de las complejos simpliciales

Números Combinatorios, Números de Stirling y la Característica de Euler (Curso en el Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones - 18 y 19 de Junio)

Manuel A. Morón

Catedrático Departamento de Geometría y Topología 

Universidad Complutense de Madrid

Bajo este título queremos, esencialmente, hacer una introducción muy básica a los complejos simpliciales tanto abstractos como geométricos. Siendo la finalidad principal la introducción, de la forma más intuitiva posible,  de los grupos de homología de los complejos simpliciales.

Una vez establecidos algunos resultados respecto a la invariancia topológica de la característica de Euler,  nos centraremos en el cálculo del número de caras de la subdivisión baricéntrica de un complejo simplicial. Apareciendo así, de forma natural, los números de Striling en este contexto. Finalmente combinaremos los tres objetos clásicos en el título de este breve curso para dar una prueba de que la característica de Euler es, esencialmente, la única combinación lineal de los números de caras de cada dimensión de un complejo simplicial que es invariante topológico del poliedro subyacente. El  proceso de demostración, donde aparecerán matrices infinitas triangulares inferiores, será la excusa para la breve introducción del grupo de Riordan que utilizaremos en la conferencia en la que profundizaremos algo más en relaciones entre procesos iterativos en Topología y Geometría y matrices infinitas que también se pueden construir iterativamente.